正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。
1. 對於
r
e
f
l
e
c
t
V
(
)
{\displaystyle reflect_{V}()}
以subspace
V
{\displaystyle V}
為基準做鏡射(
V
{\displaystyle V}
in
R
n
{\displaystyle R^{n}}
)，令
x
∥
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\shortparallel }}
為平行之向量，
x
⊥
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\perp }}
為正交之向量[2]：
‖
r
e
f
l
e
c
t
V
(
x
)
‖
2
=
‖
x
∥
−
x
⊥
‖
2
{\displaystyle \|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}}
因為
x
∥
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\shortparallel }}
和
x
⊥
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\perp }}
互為正交，可以根據畢氏定理做分解：
‖
r
e
f
l
e
c
t
V
(
x
)
‖
2
=
‖
x
∥
‖
2
+
‖
−
x
⊥
‖
2
=
‖
x
∥
‖
2
+
‖
x
⊥
‖
2
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} \|^{2}}
2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣，對於
N
{\displaystyle N}
點DFT，可得一個
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
矩陣，且
ω
n
=
e
j
2
π
n
/
N
{\displaystyle \omega ^{n}=e^{j2\pi n/N}}
：
W
=
1
N
[
1
1
1
⋯
1
1
ω
ω
2
⋯
ω
N
−
1
1
ω
2
ω
4
⋯
ω
2
(
N
−
1
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
1
ω
N
−
1
ω
2
(
N
−
1
)
⋯
ω
(
N
−
1
)
(
N
−
1
)
]
{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}}
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
為symmetric矩陣，令的
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
每個列為：
w
n
=
[
1
ω
n
ω
2
n
⋯
ω
(
N
−
1
)
n
]
{\displaystyle \mathbf {w} _{n}={\begin{bmatrix}1&\omega ^{n}&\omega ^{2}n&\cdots &\omega ^{(N-1)n}\end{bmatrix}}}
令任意二列做內積：
⟨
w
m
,
w
n
⟩
=
w
m
⋅
w
n
H
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
e
j
2
π
k
m
/
N
e
−
j
2
π
k
n
/
N
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
e
j
(
2
π
k
m
/
N
)
(
m
−
n
)
{\displaystyle \langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle =\mathbf {w} _{m}\centerdot \mathbf {w} _{n}^{H}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j2\pi km/N}e^{-j2\pi kn/N}\displaystyle ={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j(2\pi km/N)(m-n)}\displaystyle }
上式可以化成pulse function，只有列和自己做內積才為
1
{\displaystyle 1}
，即：
⟨
w
m
,
w
n
⟩
=
{
1
,
if
m
=
n
0
,
if
m
≠
n
{\displaystyle \langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle ={\begin{cases}1,&{\text{if }}m=n\\0,&{\text{if }}m\neq n\end{cases}}}
3. 正交變換可以參數計算變得容易，令
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
為正交矩陣的列，列彼此互相正交，
c
n
{\displaystyle c_{n}}
而為
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
對應之參數，即給定下式中的
y
{\displaystyle y}
和
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
，參數
c
n
{\displaystyle c_{n}}
之值可以很容易的計算出來。
y
=
∑
n
=
0
N
−
1
c
n
ϕ
n
{\displaystyle y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle }
如果要求出
c
m
{\displaystyle c_{m}}
，則將上式與
ϕ
m
{\displaystyle \phi _{m}}
做內積：
⟨
y
,
ϕ
m
⟩
=
∑
n
=
0
N
−
1
c
n
⟨
ϕ
n
,
ϕ
m
⟩
{\displaystyle \langle y,\phi _{m}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle \displaystyle }
因為在
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
時，
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
和
ϕ
m
{\displaystyle \phi _{m}}
做內積為0，可得下式：
⟨
y
,
ϕ
m
⟩
=
c
m
⟨
ϕ
m
,
ϕ
m
⟩
{\displaystyle \langle y,\phi _{m}\rangle =c_{m}\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }
最後同除
⟨
ϕ
m
,
ϕ
m
⟩
{\displaystyle \langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }
即可得到對應之參數：
c
m
=
⟨
y
,
ϕ
m
⟩
⟨
ϕ
m
,
ϕ
m
⟩
{\displaystyle c_{m}={\frac {\langle y,\phi _{m}\rangle }{\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }}}
4. 在訊號壓縮上，對於原始訊號：
y
=
∑
n
=
0
N
−
1
c
n
ϕ
n
{\displaystyle y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle }
假設進行壓縮，要壓縮成：
y
^
=
∑
n
=
0
K
−
1
c
n
ϕ
n
{\displaystyle {\hat {y}}=\textstyle \sum _{n=0}^{K-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle }
當
K
≤
N
{\displaystyle K\leq N}
時，
K
{\displaystyle K}
越大，
|
y
−
y
^
|
{\displaystyle |y-{\hat {y}}|}
越小
5. 在通訊應用上，會利用正交基來和訊號做調變，正交的特性會使通道間不會互相干擾。